Campus · Pfad 3 · Wissenschaftlich

Die Mathematik hinter dem Begriff

Verschränkung, Bell-Test, Dekohärenz und Resonanz lassen sich in wenigen Gleichungen fassen. Dieser Pfad zeigt sie, prüft sie an Beispielen und führt ins Modelllabor 02.

Der Pfad richtet sich an Menschen mit Grundkenntnissen in linearer Algebra und Quantenmechanik, vor allem an Studierende der Physik, Informatik und verwandter Fächer. Er ersetzt kein Lehrbuch; er ordnet Begriffe, zeigt die Rechnungen im Zusammenhang und verweist auf die Originalarbeiten. Wer ohne Vorkenntnisse einsteigen möchte, liest zuerst die Weiche der Offenen Frage 01. Die Leitfrage dieses Pfads: Was folgt aus den Gleichungen, und unter welchen Annahmen?

Hier finden Sie einen Voraussetzungs-Check, zehn Karten zum Formalismus, zwei Beweise zum Nachklicken, einen Lernpfad in fünf Schritten, ein Glossar mit Suchfeld und die Literatur nach Niveau.

Voraussetzungen prüfen Zum Modelllabor 02

Zum Ausprobieren · Voraussetzungs-Check

Was bringen Sie mit.

Tippen Sie an, was Sie sicher können:

Sicher0 / 6
Einstieg–
Dauer–

Check. Wählen Sie aus, was Sie können.

Selbsteinschätzung, kein Test. Die Regel ist meine: bis zu zwei sichere Punkte heißt Grundlagen zuerst, drei oder vier Schritt 1, fünf oder sechs Schritt 3. Die Zeiten sind Schätzungen für konzentriertes Arbeiten.

I · Voraussetzungen

Was Sie mitbringen sollten.

Vier Gebiete reichen aus. Die Tabelle nennt, was genau gemeint ist; zum Nachlesen eignen sich die Lehrbücher im Literaturverzeichnis (Kapitel VI). Die Notation: Kets |ψ⟩ für Zustände, Σ für Summen, † für die konjugiert transponierte Matrix, ⊗ für das Tensorprodukt, σx, σy, σz für die Pauli-Matrizen.

GebietWas Sie können solltenWo es gebraucht wird
Lineare AlgebraVektoren, Skalarprodukt, Matrizen, Eigenwerte und Eigenvektoren hermitescher Matrizen, Spur, Tensorprodukt (Kronecker-Produkt)alle Karten, Labor A bis D
Komplexe ZahlenBetrag, Phase, konjugiert komplex, eiφZustände mit Phase (Labor A), Dichtematrix
WahrscheinlichkeitErwartungswert, Varianz, Binomialverteilung, StandardfehlerBell-Test mit Messreihen (Labor B)
QuantenmechanikZustand als Vektor, Observable als hermitesche Matrix, Messung und Born-Regel, Zeitentwicklung durch die Schrödinger-GleichungKarten 1 bis 3, 7, 10

II · Der Formalismus in zehn Karten

Von einem Qubit zur Resonanz.

Jede Karte nennt die Definition, ein Rechenbeispiel und die Stelle im Modelllabor 02, an der Sie es ausprobieren. Die Karten bauen aufeinander auf; die Stufe zeigt, wie viel Vorwissen sie brauchen. Wählen Sie eine Karte.

Wählen Sie oben eine Karte.

III · Zwei Beweise zum Nachklicken

Warum die Grenze 2 gilt, und warum kein Signal fließt.

Zwei Aussagen der Weiche lassen sich in wenigen Zeilen beweisen. Hier können Sie die Beweise durchspielen: einmal für die klassische Grenze des CHSH-Werts, einmal für das No-Signalling-Prinzip.

Beweis 1 · CHSH ≤ 2 in jedem lokalen Modell

In einem lokalen Modell haben die vier Ergebnisse A, A′, B, B′ (je +1 oder −1) in jedem Durchgang feste Werte. Setzen Sie sie:

B + B′–
B − B′–
S–
Beweis 1. Wird berechnet.
UmformungS = A·B + A·B′ + A′·B − A′·B′ = A·(B + B′) + A′·(B − B′)
FallunterscheidungB und B′ sind ±1: Entweder B = B′, dann ist B − B′ = 0 und S = A·(B + B′) = ±2. Oder B = −B′, dann ist B + B′ = 0 und S = A′·(B − B′) = ±2.
Mittelung über die verborgene Variable λ⟨S⟩ = ∫ S(λ) ρ(λ) dλ, mit S(λ) = ±2 für jedes λ folgt |⟨S⟩| ≤ 2

Das ist der Kern des Beweises von Clauser, Horne, Shimony und Holt (1969). Er setzt zwei Dinge voraus: Die Ergebnisse existieren unabhängig von der Messung (Realismus), und Alices Ergebnis hängt nicht von Bobs Einstellung ab (Lokalität). Verletzt ein Experiment die Grenze, ist mindestens eine der beiden Annahmen falsch; Hensen u. a. (2015) schließen dabei die bekannten Schlupflöcher.

Beweis 2 · No-Signalling aus der Partialspur

Alice und Bob teilen den reinen Zustand cos θ|00⟩ + sin θ|11⟩. Alice misst entlang einer von Ihnen gewählten Richtung; beobachten Sie, was sich für Bob ändert.

Beweis 2. Wird berechnet.
Alices Messung mit Ergebnis s = ±ρs = (Ps ⊗ I) ρ (Ps ⊗ I), ps = Tr ρs, P± = (I ± σn) ÷ 2
Bobs Zustand, wenn er Alices Ergebnis nicht kenntρB′ = Σs TrA ρs = TrA[ (Σs Ps ⊗ I) ρ ] = TrA ρ, weil Σs Ps = I

Bobs Zustand ohne Kenntnis von Alices Ergebnis ist derselbe wie vorher, für jede Richtung und jeden Zustand: Alice kann Bobs lokale Statistik nicht verändern. Kennt Bob ihr Ergebnis, sieht er je nach Ergebnis verschiedene Zustände (Tabelle); dafür braucht er eine gewöhnliche Nachricht von Alice. Das ist der Inhalt des No-communication-Satzes (Wikipedia, „No-communication theorem“).

IV · Der Lernpfad

Fünf Schritte, mit Labor und Aufgaben.

Jeder Schritt verbindet Karten, einen Laborteil und Aufgaben. Haken Sie ab, was Sie erledigt haben; die Seite rechnet den Rest aus. Es wird nichts gespeichert. Die Zeiten sind meine Schätzungen für konzentriertes Arbeiten, keine Messwerte.

SchrittInhaltLabor und AufgabenZeit
1 · Qubits und PaareKarten 1 bis 3: Qubit, Tensorprodukt, VerschränkungLabor A (Bell-Zustände, teilweise verschränkt); Aufgaben 3 und 42 Std.
2 · Mischung und MaßeKarten 4 und 5: Dichtematrix, PartialspurLabor A (reiner Anteil p, Maße C, N, EF); Aufgaben 1 und 23 Std.
3 · Korrelationen und Bell-TestKarten 6 bis 8 und Beweis 1Labor B (Winkelsuche, Messreihen, lokales Modell)3 Std.
4 · RauschenKarte 9 und Beweis 2Labor C (drei Kanäle); Aufgaben 5 bis 73 Std.
5 · Resonanz und KopplungKarte 10Labor D (Rabi, gekoppelte Moden); Aufgaben 8 und 92 Std.

Mein Fortschritt

Erledigt0 / 5
Rest13 Std.
Nächster1

V · Glossar

Begriffe kurz und genau.

Neunundzwanzig Begriffe in knapper Form. Die Suche filtert nach Begriff und Erklärung. Die Definitionen sind in eigenen Worten nach den Quellen in Kapitel VI formuliert; maßgeblich sind die Originalarbeiten.

VI · Literatur nach Niveau

Nachlesen statt glauben.

Zitieren Sie für Referate und Arbeiten die Originalarbeiten und Lehrbücher, nicht diese Seite. Von den acht mit „Zusammenfassung“ gekennzeichneten Arbeiten habe ich nur die Zusammenfassung gelesen; die übrigen Titel habe ich über Crossref geprüft (Titel, Zeitschrift, Jahr), nicht gelesen. Die Bücher sind Hinweise.

Lehrbücher (Hinweise, nicht gelesen)

  1. Griffiths & Schroeter · Introduction to Quantum MechanicsCambridge University Press, 3. Auflage. Einstieg in die Quantenmechanik.
  2. Nielsen & Chuang · Quantum Computation and Quantum InformationCambridge University Press (Jubiläumsausgabe). Qubits, Verschränkung, Dichtematrix, Rauschen.
  3. Breuer & Petruccione · The Theory of Open Quantum SystemsOxford University Press. Lindblad-Gleichung und offene Systeme.
  4. Scully & Zubairy · Quantum OpticsCambridge University Press. Atom im Feld, Rabi-Oszillation.

Übersichtsartikel

  1. Horodecki, Horodecki, Horodecki & Horodecki (2009) · Quantum entanglementReviews of Modern Physics 81. Gelesen: Zusammenfassung (teilweise).
  2. Brunner, Cavalcanti, Pironio, Scarani & Wehner (2014) · Bell nonlocalityReviews of Modern Physics 86. Gelesen: Zusammenfassung.
  3. Zurek (2003) · Decoherence, einselection, and the quantum origins of the classicalReviews of Modern Physics 75. Gelesen: Zusammenfassung.

Originalarbeiten

  1. Bell (1964) · On the Einstein Podolsky Rosen paradoxPhysics Physique Fizika 1. Nicht gelesen.
  2. Clauser, Horne, Shimony & Holt (1969) · Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable TheoriesPhysical Review Letters 23. Nicht gelesen.
  3. Cirel’son (1980) · Quantum generalizations of Bell’s inequalityLetters in Mathematical Physics 4. Nicht gelesen.
  4. Werner (1989) · Quantum states with Einstein-Podolsky-Rosen correlations admitting a hidden-variable modelPhysical Review A 40. Nicht gelesen.
  5. Horodecki, Horodecki & Horodecki (1995) · Violating Bell inequality by mixed states: necessary and sufficient conditionPhysics Letters A 200. Nicht gelesen.
  6. Peres (1996) · Separability Criterion for Density MatricesPhysical Review Letters 77. Gelesen: Zusammenfassung.
  7. Horodecki, Horodecki & Horodecki (1996) · Separability of mixed states: necessary and sufficient conditionsPhysics Letters A 223. Nicht gelesen.
  8. Wootters (1998) · Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two QubitsPhysical Review Letters 80. Gelesen: Zusammenfassung.
  9. Vidal & Werner (2002) · Computable measure of entanglementPhysical Review A 65. Gelesen: Zusammenfassung.
  10. Lindblad (1976) · On the generators of quantum dynamical semigroupsCommunications in Mathematical Physics 48. Nicht gelesen.
  11. Gorini, Kossakowski & Sudarshan (1976) · Completely positive dynamical semigroups of N-level systemsJournal of Mathematical Physics 17. Nicht gelesen.
  12. Rabi (1937) · Space Quantization in a Gyrating Magnetic FieldPhysical Review 51. Nicht gelesen.
  13. Yu & Eberly (2004) · Finite-Time Disentanglement Via Spontaneous EmissionPhysical Review Letters 93. Gelesen: Zusammenfassung.
  14. Hensen et al. (2015) · Loophole-free Bell inequality violation using electron spins separated by 1.3 kilometresNature 526. Gelesen: Zusammenfassung.

Weitere Quellen

  1. Wikipedia · No-communication theoremNachschlagewerk; der Artikel trägt den Hinweis, dass er mehr Belege braucht.

VII · Modelllabor 02

Jetzt selbst rechnen.

Das Modelllabor 02 setzt die Formeln der zehn Karten in Rechner um: vier Labore, neun Aufgaben mit Lösungsweg, Datenexport und eine Prüfung des Rechenkerns. Es ist ein Modell, keine Messung.

Zum Modelllabor 02 Modelllabor 01

Vertiefungen

Weiterlesen, mit eigenen Quellen.

Labor

Modelllabor 02

Zwei Qubits, Bell-Test, Dekohärenz und Resonanz zum Ausprobieren, mit Aufgaben.

Das Labor öffnen

Weiche

Offene Frage 01

Die Kernfrage, drei Pfade und ein Prüfstand für vier gängige Behauptungen.

Zur Weiche

Modell

Modelllabor 01

Drei einfache Rechenmodelle zu Resonanz, Dekohärenz und No-Signalling.

Das Labor öffnen

Campus

Sumkra Campus

Offene Fragen, Modelle und der Weg von der Idee zur prüfbaren Frage.

Zum Campus

Kurz eingeordnet

Häufige Fragen und Antworten.

Wie viel Vorwissen nötig ist
Grundkenntnisse in linearer Algebra, komplexen Zahlen, Wahrscheinlichkeit und Quantenmechanik (Kapitel I). Wer weniger mitbringt, beginnt mit der Weiche der Offenen Frage 01 und holt die Grundlagen in einem Lehrbuch nach; der Voraussetzungs-Check oben gibt eine Orientierung, keine Prüfung.
Modelllabor 01 und 02: der Unterschied
Das Modelllabor 01 zeigt drei einfache Zusammenhänge in vereinfachter Form (Resonanz braucht Kopplung, Dekohärenz, No-Signalling). Das Modelllabor 02 rechnet mit vollständigen Zwei-Qubit-Zuständen, mehreren Verschränkungsmaßen, einer Lindblad-Gleichung und hat Aufgaben, Datenexport und eine Prüfung des Rechenkerns.
Bell-Verletzung ohne Verschränkung
Ohne Verschränkung gibt es keine Verletzung der CHSH-Ungleichung: Separable Zustände erfüllen sie (Peres 1996: Bell-Ungleichungen sind schwächer als das PPT-Kriterium). Umgekehrt verletzt nicht jeder verschränkte gemischte Zustand sie; im Werner-Zustand liegt zwischen V = 1/3 und V = 1/√2 Verschränkung ohne Verletzung (Modelllabor 02, Aufgaben 1 und 2).
Zitieren und Verwenden
Für Referate und Arbeiten gehören die Originalarbeiten und Lehrbücher aus Kapitel VI ins Quellenverzeichnis, nicht diese Seite. Die Seite ist als Orientierung und Lernhilfe gedacht.
Näherungen und Annahmen
Die Formeln der Karten sind im Modelllabor 02 nachrechenbar. Die benannten Näherungen: Markov-Näherung (Lindblad-Gleichung), Rotating-Wave-Näherung (Rabi, gekoppelte Moden), ideale Detektoren (Bell-Test), ein Qubit-Paar. Wo sie nicht passen, steht es im Labor bei „Gleichungen und Annahmen“.
Sumkra und dieser Pfad
Sumkra-Produkte erzeugen, messen oder verstärken keine Verschränkung. Dieser Pfad ist ein redaktionelles und didaktisches Format ohne Wirkzusage; Sumkra-Produkte sind Design-, Wohn- und Ritualobjekte, keine Medizinprodukte.

Sumkra Campus · bewusst eingeordnet

Die Gleichung zeigt, was folgt. Die Annahme sagt, wann.

Dieser Pfad führt von einem Qubit bis zur Resonanz und nennt bei jeder Formel die Annahmen, unter denen sie gilt. Er macht keine Aussage über Menschen; er zeigt, wie genau sich über Verschränkung, Bell-Test und Rauschen sprechen lässt.

Merksatz

Definieren · Rechnen · Prüfen

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Die deutschen Übertragungen und die Zusammenfassungen der Quellen sind eigene; Rechnungen sind keine Messwerte. Stand der Recherche: 09.11.2026.